Contoh Soal Bilangan Kompleks Bentuk Polar
Bilangan kompleks dalam bentuk polar sangat berguna dalam menyelesaikan operasi perkalian dan pembagian bilangan kompleks. Bentuk polar dinyatakan sebagai z = r(cos θ + i sin θ) atau z = r cis θ, di mana r adalah modulus (atau nilai mutlak) dan θ adalah argumen (atau sudut). Berikut beberapa contoh soal bilangan kompleks bentuk polar beserta penyelesaiannya:
Contoh Soal 1: Mengubah Bentuk Cartesius ke Polar
Soal: Ubah bilangan kompleks z = -1 + i√3 ke dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
-
Mencari modulus (r): r = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
-
Mencari argumen (θ): θ = arctan(√3 / -1) = arctan(-√3)
Karena bagian real (x = -1) negatif dan bagian imajiner (y = √3) positif, maka sudut θ berada di kuadran II. arctan(-√3) = -60°, namun karena berada di kuadran II, maka θ = 180° - 60° = 120° atau 2π/3 radian.
-
Bentuk Polar: z = 2(cos 120° + i sin 120°) atau z = 2 cis 120°
Contoh Soal 2: Perkalian Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar
Soal: Jika z₁ = 2(cos 30° + i sin 30°) dan z₂ = 3(cos 60° + i sin 60°), tentukan z₁ * z₂ dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar dilakukan dengan mengalikan modulus dan menjumlahkan argumen:
z₁ * z₂ = (2 * 3) [cos(30° + 60°) + i sin(30° + 60°)] = 6(cos 90° + i sin 90°)
Contoh Soal 3: Pembagian Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar
Soal: Jika z₁ = 4(cos 120° + i sin 120°) dan z₂ = 2(cos 60° + i sin 60°), tentukan z₁ / z₂ dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar dilakukan dengan membagi modulus dan mengurangkan argumen:
z₁ / z₂ = (4 / 2) [cos(120° - 60°) + i sin(120° - 60°)] = 2(cos 60° + i sin 60°)
Contoh Soal 4: Menentukan akar pangkat n dari bilangan kompleks
Soal: Tentukan akar pangkat tiga dari z = 8(cos 120° + i sin 120°).
Penyelesaian:
Untuk mencari akar pangkat n dari bilangan kompleks z = r(cos θ + i sin θ), kita gunakan rumus de Moivre:
z^(1/n) = r^(1/n) [cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)], di mana k = 0, 1, 2, ..., n-1
Dalam kasus ini, n = 3, r = 8, dan θ = 120°. Akar-akarnya adalah:
- k = 0: 8^(1/3) [cos(120°/3) + i sin(120°/3)] = 2(cos 40° + i sin 40°)
- k = 1: 8^(1/3) [cos((120° + 360°)/3) + i sin((120° + 360°)/3)] = 2(cos 160° + i sin 160°)
- k = 2: 8^(1/3) [cos((120° + 720°)/3) + i sin((120° + 720°)/3)] = 2(cos 280° + i sin 280°)
Contoh-contoh soal di atas menunjukkan bagaimana bentuk polar memudahkan operasi pada bilangan kompleks. Ingatlah untuk selalu memperhatikan kuadran saat menentukan argumen. Dengan pemahaman yang baik tentang konsep modulus dan argumen, Anda dapat dengan mudah menyelesaikan berbagai soal bilangan kompleks dalam bentuk polar.
