Contoh Soal Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Kelas 11
Persamaan lingkaran dalam bentuk umum dinyatakan sebagai x² + y² + Ax + By + C = 0, di mana A, B, dan C merupakan konstanta. Memahami bentuk umum ini sangat penting untuk menyelesaikan berbagai soal terkait lingkaran. Berikut beberapa contoh soal dan pembahasannya:
Soal 1: Menentukan Pusat dan Jari-jari Lingkaran
Soal: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0.
Pembahasan:
Langkah pertama adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk baku (x - a)² + (y - b)² = r², di mana (a, b) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Kita gunakan metode melengkapi kuadrat sempurna:
-
Kelompokkan suku-suku yang mengandung x dan y: (x² - 6x) + (y² + 4y) - 12 = 0
-
Lengkapi kuadrat sempurna untuk x dan y: (x² - 6x + 9) - 9 + (y² + 4y + 4) - 4 - 12 = 0
-
Sederhanakan persamaan: (x - 3)² + (y + 2)² = 25
Dari bentuk baku ini, kita dapat melihat bahwa pusat lingkaran berada di titik (3, -2) dan jari-jari lingkaran adalah r = √25 = 5.
Soal 2: Menentukan Persamaan Lingkaran
Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2, 5) dan memiliki jari-jari 3.
Pembahasan:
Kita langsung gunakan bentuk baku persamaan lingkaran: (x - a)² + (y - b)² = r²
Substitusikan nilai a = -2, b = 5, dan r = 3:
(x - (-2))² + (y - 5)² = 3² (x + 2)² + (y - 5)² = 9
Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x + 2)² + (y - 5)² = 9. Untuk mendapatkan bentuk umum, perlu diuraikan:
x² + 4x + 4 + y² - 10y + 25 = 9 x² + y² + 4x - 10y + 20 = 0
Soal 3: Menentukan Titik yang Terletak pada Lingkaran
Soal: Apakah titik (1, 2) terletak pada lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² - 2x + 4y - 4 = 0?
Pembahasan:
Substitusikan koordinat titik (1, 2) ke dalam persamaan lingkaran:
1² + 2² - 2(1) + 4(2) - 4 = 1 + 4 - 2 + 8 - 4 = 7
Karena hasilnya bukan 0, maka titik (1, 2) tidak terletak pada lingkaran tersebut.
Soal 4: Menentukan Persamaan Lingkaran dari Tiga Titik
Soal: Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(1, 2), B(3, 4), dan C(5, 2).
Pembahasan: Soal ini lebih kompleks dan memerlukan penyelesaian sistem persamaan. Substitusikan koordinat ketiga titik ke dalam persamaan umum lingkaran x² + y² + Ax + By + C = 0, sehingga akan didapatkan tiga persamaan dengan tiga variabel (A, B, C). Selesaikan sistem persamaan tersebut untuk menemukan nilai A, B, dan C. Kemudian, substitusikan nilai-nilai tersebut kembali ke persamaan umum lingkaran. (Penyelesaian sistem persamaan ini membutuhkan perhitungan yang lebih detail dan tidak akan diuraikan secara lengkap di sini).
Semoga contoh soal dan pembahasan di atas membantu pemahaman Anda tentang bentuk umum persamaan lingkaran. Ingatlah untuk berlatih lebih banyak soal untuk mengasah kemampuan Anda.
