Contoh Soal Bentuk Sederhana dari Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri merupakan persamaan yang selalu benar untuk setiap nilai variabel yang memenuhi persamaan tersebut. Menguasai identitas trigonometri dasar sangat penting untuk menyederhanakan ekspresi trigonometri yang kompleks. Berikut beberapa contoh soal dan penyelesaiannya untuk memahami bagaimana menyederhanakan ekspresi trigonometri menggunakan identitas trigonometri dasar:
Identitas Trigonometri Dasar yang Digunakan:
- sin²x + cos²x = 1
- tan x = sin x / cos x
- cot x = cos x / sin x
- sec x = 1 / cos x
- csc x = 1 / sin x
Contoh Soal 1:
Sederhanakan ekspresi berikut: sin²x + cos²x + tan²x
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa sin²x + cos²x = 1. Substitusikan ini ke dalam ekspresi:
1 + tan²x
Menggunakan identitas tan x = sin x / cos x, kita bisa menulis ulang ekspresi menjadi:
1 + (sin²x / cos²x)
Untuk menyederhanakan lebih lanjut, kita perlu mencari penyebut persekutuan:
(cos²x + sin²x) / cos²x
Karena cos²x + sin²x = 1, maka hasilnya adalah:
1 / cos²x = sec²x
Contoh Soal 2:
Sederhanakan ekspresi berikut: (1 - cos²x) / sin x
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa sin²x + cos²x = 1, yang berarti 1 - cos²x = sin²x. Substitusikan ini ke dalam ekspresi:
sin²x / sin x
Sederhanakan dengan membagi sin²x dengan sin x:
sin x
Contoh Soal 3:
Buktikan identitas trigonometri berikut: tan x + cot x = sec x csc x
Penyelesaian:
Kita mulai dari ruas kiri:
tan x + cot x = (sin x / cos x) + (cos x / sin x)
Cari penyebut persekutuan:
= (sin²x + cos²x) / (sin x cos x)
Karena sin²x + cos²x = 1, maka:
= 1 / (sin x cos x)
= (1 / sin x) * (1 / cos x)
= csc x * sec x
= sec x csc x (sama dengan ruas kanan)
Contoh Soal 4:
Sederhanakan: (sec x - cos x) / tan x
Penyelesaian:
Ubah semua fungsi trigonometri menjadi sin x dan cos x:
((1/cos x) - cos x) / (sin x / cos x)
Cari penyebut persekutuan untuk (1/cos x) - cos x:
((1 - cos²x) / cos x) / (sin x / cos x)
Karena 1 - cos²x = sin²x:
(sin²x / cos x) / (sin x / cos x)
= (sin²x / cos x) * (cos x / sin x)
= sin x
Dengan latihan yang cukup, Anda akan dapat dengan mudah menyederhanakan berbagai ekspresi trigonometri menggunakan identitas trigonometri dasar. Ingatlah untuk selalu memulai dengan mengidentifikasi identitas trigonometri yang relevan dan melakukan substitusi yang tepat.
