Contoh Soal Bentuk Polar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks dalam bentuk polar sangat berguna dalam berbagai aplikasi, terutama dalam kalkulus dan persamaan diferensial. Bentuk polar merepresentasikan bilangan kompleks menggunakan magnitudo (atau modulus) dan argumen (atau sudut). Berikut beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya:
Bentuk Polar: Sebuah bilangan kompleks z = x + iy dapat ditulis dalam bentuk polar sebagai z = r(cos θ + i sin θ), di mana r adalah modulus (r = √(x² + y²)) dan θ adalah argumen (θ = arctan(y/x)). Bentuk polar juga sering ditulis sebagai z = r cis θ, di mana cis θ = cos θ + i sin θ.
Contoh Soal 1:
Ubah bilangan kompleks z = 1 + i√3 ke bentuk polar.
Penyelesaian:
-
Hitung modulus (r): r = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
-
Hitung argumen (θ): θ = arctan(√3/1) = arctan(√3) = π/3 (karena x dan y positif, θ berada di kuadran I)
-
Bentuk Polar: z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) atau z = 2 cis(π/3)
Contoh Soal 2:
Ubah bilangan kompleks z = -1 - i ke bentuk polar.
Penyelesaian:
-
Hitung modulus (r): r = √((-1)² + (-1)²) = √(1 + 1) = √2
-
Hitung argumen (θ): θ = arctan(-1/-1) = arctan(1) = π/4 Namun, karena x dan y negatif, θ berada di kuadran III. Oleh karena itu, θ = π/4 + π = 5π/4
-
Bentuk Polar: z = √2(cos(5π/4) + i sin(5π/4)) atau z = √2 cis(5π/4)
Contoh Soal 3:
Tentukan hasil perkalian dari z₁ = 2 cis(π/6) dan z₂ = 3 cis(π/3) dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar dilakukan dengan mengalikan modulus dan menjumlahkan argumen:
z₁ * z₂ = (2 * 3) cis(π/6 + π/3) = 6 cis(π/2)
Contoh Soal 4:
Ubah bilangan kompleks z = 4(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) ke bentuk aljabar (x + iy).
Penyelesaian:
Kita hanya perlu menghitung nilai cosinus dan sinus dari sudut yang diberikan:
x = 4 cos(2π/3) = 4 * (-1/2) = -2 y = 4 sin(2π/3) = 4 * (√3/2) = 2√3
Maka, bentuk aljabar dari z adalah: z = -2 + 2i√3
Contoh Soal 5:
Hitung z³/z² jika z = 2 cis (π/4).
Penyelesaian:
Pertama, hitung z³ dan z²: z² = 2² cis(2π/4) = 4 cis(π/2)* z³ = 2³ cis(3π/4) = 8 cis(3π/4)*
Kemudian, bagi z³ dengan z²: z³/z² = (8/4) cis(3π/4 - π/2) = 2 cis(π/4)
Ini hanyalah beberapa contoh soal sederhana. Soal-soal yang lebih kompleks mungkin melibatkan pangkat, akar, atau operasi bilangan kompleks lainnya dalam bentuk polar. Menguasai bentuk polar sangat penting untuk memecahkan masalah dalam berbagai bidang matematika dan teknik.
