Contoh Soal Bentuk Polar
Bentuk polar merupakan representasi dari suatu bilangan kompleks dalam koordinat polar, yaitu menggunakan besaran modulus (r) dan argument (θ). Modul merepresentasikan jarak titik dari pusat koordinat, sementara argument merepresentasikan sudut yang dibentuk oleh titik tersebut terhadap sumbu x positif. Bentuk polar dinyatakan sebagai z = r(cos θ + i sin θ) atau z = r cis θ, dengan r = |z| dan θ = arg(z).
Berikut beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya:
Contoh 1: Mengubah Bentuk Cartesius ke Bentuk Polar
Soal: Ubahlah bilangan kompleks z = 3 + 4i ke dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
-
Hitung modulus (r): r = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5
-
Hitung argument (θ): θ = arctan(4/3) ≈ 0.93 radian atau ≈ 53.13° (ingat untuk memperhatikan kuadran)
Karena bilangan kompleks berada di kuadran I (bagian real dan imajiner positif), nilai θ yang diperoleh sudah benar.
-
Bentuk Polar: z = 5(cos 0.93 + i sin 0.93) atau z = 5 cis 0.93
Jadi, bentuk polar dari 3 + 4i adalah 5(cos 0.93 + i sin 0.93) atau 5 cis 0.93
Contoh 2: Mengubah Bentuk Polar ke Bentuk Cartesius
Soal: Ubahlah bilangan kompleks z = 2(cos π/3 + i sin π/3) ke dalam bentuk Cartesius.
Penyelesaian:
-
Hitung bagian real: 2 cos(π/3) = 2 * (1/2) = 1
-
Hitung bagian imajiner: 2 sin(π/3) = 2 * (√3/2) = √3
-
Bentuk Cartesius: z = 1 + i√3
Jadi, bentuk Cartesius dari 2(cos π/3 + i sin π/3) adalah 1 + i√3
Contoh 3: Perkalian Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar
Soal: Tentukan hasil perkalian dari z₁ = 2(cos π/4 + i sin π/4) dan z₂ = 3(cos π/2 + i sin π/2) dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk polar dilakukan dengan mengalikan modulus dan menjumlahkan argument:
z₁ * z₂ = (2 * 3) [cos(π/4 + π/2) + i sin(π/4 + π/2)] = 6(cos (3π/4) + i sin (3π/4))
Jadi, hasil perkalian z₁ dan z₂ adalah 6(cos (3π/4) + i sin (3π/4))
Contoh 4: Pembagian Bilangan Kompleks dalam Bentuk Polar
Soal: Tentukan hasil pembagian z₁ = 6(cos π/3 + i sin π/3) oleh z₂ = 2(cos π/6 + i sin π/6) dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar dilakukan dengan membagi modulus dan mengurangkan argument:
z₁ / z₂ = (6/2) [cos(π/3 - π/6) + i sin(π/3 - π/6)] = 3(cos π/6 + i sin π/6)
Jadi, hasil pembagian z₁ oleh z₂ adalah 3(cos π/6 + i sin π/6)
Semoga contoh soal di atas dapat membantu pemahaman Anda tentang bentuk polar bilangan kompleks. Ingatlah untuk selalu memperhatikan kuadran saat menentukan argument (θ). Latihan lebih banyak akan sangat membantu dalam menguasai konsep ini.
