Contoh Soal Bentuk Persamaan Eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan matematika yang memuat variabel pada eksponen (pangkat). Memecahkan persamaan eksponen membutuhkan pemahaman sifat-sifat eksponen dan manipulasi aljabar. Berikut beberapa contoh soal beserta penyelesaiannya:
Contoh Soal 1: Persamaan Eksponen Sederhana
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2<sup>x</sup> = 8
Penyelesaian:
Kita tahu bahwa 8 dapat ditulis sebagai 2<sup>3</sup>. Maka persamaan menjadi:
2<sup>x</sup> = 2<sup>3</sup>
Karena basisnya sama (2), maka eksponennya harus sama. Oleh karena itu:
x = 3
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 3.
Contoh Soal 2: Persamaan Eksponen dengan Basis Berbeda
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 3<sup>x</sup> = 27<sup>(x-1)</sup>
Penyelesaian:
Kita ubah basis agar sama. Karena 27 = 3<sup>3</sup>, maka persamaan menjadi:
3<sup>x</sup> = (3<sup>3</sup>)<sup>(x-1)</sup>
Menggunakan sifat (a<sup>m</sup>)<sup>n</sup> = a<sup>mn</sup>, kita peroleh:
3<sup>x</sup> = 3<sup>3(x-1)</sup>
Karena basisnya sama (3), maka eksponennya harus sama:
x = 3(x - 1) x = 3x - 3 2x = 3 x = 3/2
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 3/2.
Contoh Soal 3: Persamaan Eksponen dengan Koefisien
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 * 5<sup>x</sup> + 10 = 30
Penyelesaian:
Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan:
2 * 5<sup>x</sup> = 20 5<sup>x</sup> = 10
Karena 10 tidak dapat dinyatakan sebagai pangkat 5 secara langsung, kita dapat menggunakan logaritma untuk menyelesaikannya. Namun, dalam contoh ini, kita bisa mendekati solusi dengan melihat bahwa 5<sup>1</sup> = 5 dan 5<sup>2</sup> = 25. Jadi, nilai x berada di antara 1 dan 2. Untuk solusi yang tepat, perlu menggunakan logaritma.
Penggunaan logaritma:
x log 5 = log 10 x = log 10 / log 5 x ≈ 1.43
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan (secara hampiran) adalah 1.43.
Contoh Soal 4: Persamaan Eksponen dengan Bentuk Kuadrat
Soal: Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 4<sup>x</sup> - 6 * 2<sup>x</sup> + 8 = 0
Penyelesaian:
Kita bisa memisalkan y = 2<sup>x</sup>. Maka persamaan menjadi:
(2<sup>x</sup>)<sup>2</sup> - 6(2<sup>x</sup>) + 8 = 0 y<sup>2</sup> - 6y + 8 = 0
Persamaan ini merupakan persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan:
(y - 2)(y - 4) = 0
Maka y = 2 atau y = 4.
Substitusikan kembali y = 2<sup>x</sup>:
2<sup>x</sup> = 2 => x = 1 2<sup>x</sup> = 4 => x = 2
Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan adalah 1 dan 2.
Semoga contoh soal di atas membantu Anda dalam memahami cara menyelesaikan persamaan eksponen. Ingatlah untuk selalu memperhatikan sifat-sifat eksponen dan melakukan manipulasi aljabar dengan hati-hati.
